Der am 14. August 1904 in Berlin-Friedrichshain geborene Sohn eines Arbeiters erlernt nach der Volksschule den Beruf des Schlossers. Noch als Lehrling tritt er 1919 dem Deutschen Metallarbeiter-Verband bei und wird 1920 Vorsitzender der Metallarbeiter-Jugend Berlins. Er gehört außerdem der Sozialistischen Arbeiter-Jugend und der SPD an, für die er bis 1933 Bezirksverordneter in Berlin-Reinickendorf ist. Nach dem Staatsexamen 1929 leitet der Jugendfürsorger bis zu seiner Entlassung 1933 die von ihm gegründeten Werkstätten für arbeitslose Jugendliche in Berlin-Prenzlauer Berg.

Als Angehöriger einer sozialdemokratischen Widerstandsgruppe wird der in Berlin-Tegel, Allmendeweg 32 wohnende Neumann im Dezember 1933 festgenommen, im Geheimen Staatspolizeiamt verhört und am 4. Januar 1934 in das Columbia-Haus gebracht. Am 10. März 1934 verurteilt ihn das Kammergericht Berlin wegen „Vorbereitung zum Hochverrat“ zu 18 Monaten Haft. Nach der Entlassung aus dem Gefängnis Tegel im Jahr 1935 arbeitet er wieder in der Metallindustrie und unterliegt polizeilicher Aufsicht.

Neumann engagiert sich ab 1945 beim Wiederaufbau der Berliner SPD und ist Gegner der Vereinigung mit der KPD. Er ist von 1946 bis 1958 Landesvorsitzender der SPD, von 1948 bis 1956 Mitglied des Berliner Abgeordnetenhauses und Fraktionsvorsitzender. Von 1949 bis 1969 gehört er dem Deutschen Bundestag an. Franz Neumann stirbt am 9. Oktober 1974 in Berlin.